Funciones Complejas

Sea $S$ un conjunto de números complejos. Una función $f$ definida en $S$ es una regla que asigna a cada $z$ en $S$ un número complejo $w.$ El número $w$ es llamado el valor de $f$ en $z$ y se denota por $f(z)$; esto es, $w = f (z).$ El conjunto $S$ se llama el domino de definición de $f.$

Si solo un valor de $w$ corresponde a cada valor de $z,$ decimos que $w$ es una función valor-único de $z$ o que $f(z)$ tiene un único valor. Si más de un valor de $w$ corresponde a cada valor de $z,$ decimos que $w$ es una función multivaluada de $z.$

Una función multivaluada se puede considerar como una colección de funciones de valor-único, donde cada miembro es conocido como una rama de la función. En general, consideramos un elemento particular como una rama principal de la función multivaluada y el valor de la función correspondiente a esta rama como el valor principal.

Supongamos que $w=u+iv$ es el valor de una función $f$ en $z= x+iy,$ de tal forma que $$u+iv=f(x+iy)$$ Cada uno de los números reales $u$ y $v$ dependen de las variables reales $x,$ $y.$ En consecuencia $f(z)$ se puede expresar en términos de un de funciones con valores reales $x,$ $y$ \begin{eqnarray}\label{eq1} f(z)= u(x,y)+iv(x,y). \end{eqnarray} Si consideramos las coordenadas polares $r$ y $\theta,$ en lugar de $x,$ $y.$ Entonces $$u+iv=f\left(re^{i\theta}\right)$$ donde $w=u+iv$ y $z=re^{i\theta}.$ En este caso escribimos \begin{eqnarray}\label{eq2} f(z)=u\left(r, \theta\right)+iv\left(r, \theta\right). \end{eqnarray}

Pregunta: ¿Qué sucede cuando en las ecuaciones definidas en (\ref{eq1}) y (\ref{eq2}) la función $v$ es cero?

Ejemplos de funciones complejas

Polinomios

Para constantes complejas $a_n, a_{n-1}, \ldots, a_0$ definimos $$p(z) = a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} +\cdots +a_{1}z + a_0$$ donde $a_n\neq 0$ y $n$ es un entero positivo conocido como el grado del polinomio $p(z).$

Funciones racionales: Razones $$\frac{p(z)}{q(z)}$$ donde $p(z)$ y $q(z)$ son polinomios y $q(z)\neq 0.$

Función exponencial

Función exponencial: Si $z=x+iy,$ la función exponencial $e^z$ se define como \begin{eqnarray*} e^z=e^xe^{iy}. \end{eqnarray*} Esto es porque \begin{eqnarray*} e^{iy}=\cos y +i\,\text{sen } y, \end{eqnarray*} entonces tenemos que \begin{eqnarray*} e^z=e^x\left(\cos y +i\,\text{sen } y\right). \end{eqnarray*}

Función logaritmo

En forma similar, el logaritmo complejo es una extensión compleja del logaritmo natural con valores reales (i.e., con base $e$). En términos de coordenadas polares $z = r e^{i\theta},$ el logaritmo complejo tiene la forma $$\log z = \log\left(r e^{i\theta}\right) = \log r + \log e^{i\theta}= \log r + i \theta.$$ Exploraremos en detalle esta función más adelante.

Funciones trigonométricas

El seno y coseno de variable compleja se definen como: \begin{eqnarray*} \,\text{sen } z=\frac{e^{i z}-e^{-iz}}{2i}\quad \text{y}\quad \cos z=\frac{e^{iz} +e^{-i z}}{2}. \end{eqnarray*} Las otras cuatro funciones trigonométricas se definen a partir del seno y coseno complejos con base en las siguientes relaciones: \begin{align*} \tan z&=\frac{\,\text{sen } z}{\cos z} & \cot z&=\frac{\cos z}{\,\text{sen } z} \\ \sec z&=\frac{1}{\cos z} & \csc z&=\frac{1}{\,\text{sen } z}. \end{align*}

Funciones trigonométricas hiperbólicas

El seno y coseno hiperbólico de variable compleja se definen de forma similar a su versión de variable real; es decir,

Explora las componentes real e imaginaria

Usa el siguiente applet para explorar las componentes real e imaginaria de algunas funciones complejas.

#Define función compleja
f(z) := z + 1/z

#Define componentes
Re = Surface(u, v, real( f(u + ί v) ), u, -5, 5, v, -5, 5)
Im = Surface(u, v, imaginary( f(u + ί v) ), u, -5, 5, v, -5, 5)